الإحصاء == الدرس الرابع ==

الدرس الأول:
بسم الله الرحمن الرحيم
الاحتمالات
الاحتمال: هو دراسة التجارب العشوائية ويرمز له (P).
فضاء العينة: هو مجموع كل النتائج الممكنة للتجربة العشوائية ويرمز له (S).
مثال: فضاء العينة لرمي نرد غير متحيز هو S = {1, 2, 3, 4, 5}
مثال: عند رمي قطعة معدنية غير متحيزة مرة واحدة؟ S = {T, H}
وعند رمي القطعة مرتين ؟ S = {TT, TH, HT, HH}
نقطة العينة: كل عنصر من فضاء العينة يسمى نقطة العينة ويرمز لها (a) حيث
الحدث: وهو مجموعة جزيئية من فضاء العينة أو أي مجموعة من النتائج الممكنة ويرمز له (A).
فإذا كان A الحدث هو الحصول على الأرقام الفردية عند رمي حجر نرد غير متحيز مرة واحدة.
A = {1, 3, 5}
الطريقة الكلاسيكية لقياس الاحتمال:
P (A) = عدد العناصر في الحدث ( )
عدد العناصر في فضاء العينة ( )
المستحيلة:
هذه الطريقة الكلاسيكية لحساب الاحتمال المؤكد
مسلمات الاحتمال:-
نفرض ان S فضاء العينة, وان C فصل من الأحداث, وان P دالة حقيقية معرفة على p.c دالة احتمال .ويسمى العدد P(R) احتمال الحدث (A) إذا حققت المسلمات التالية:-
1- لكل حدث A في الفصل C يكون احتمال
2- للحدث المؤكد S في الفصل C يكون احتمال
3- لأي عدد من الأحداث المتنافية A1, A2 في الفصل C فإن:
P(A1U A2U…) = P(A1) + P(A2) + …
P(A1UA2) = P(A1) + P(A2)
استناداً على هذه المسلمات فيمكن أن نستنتج بعض النظريات؟
1) لكل حدث .
2) إذا كان المجموعة المكملة .
3) إذا كان A- مكمل ل A فإن .
4) إذا كان A = A1UA2U…UAn حيث A1,A2…An أحداث متنافية:
إذا كان A = S

5) إذا A,B أي حدثين فإن الأحداث المتنافية: P(AUB) = P(A) + P(B) أو غير متنافية: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
الأحداث غير المتنافية:-
إذا كان A1, A2, A3 أي الأحداث:
P(A1UA2UA3) = P(A1) +P(A2) + P(A3)
مثال:
إذا كان A1 هو الحدث سحب آس من أوراق اللعب وA2 هو سحب شائب من أوراق اللعب، فما هو احتمال سحب وشائب في سحبة واحدة؟
الحل:
P(A1) = P(A2) =
P(A1UA2) = P(A1) + P(A2) = + =
مثال:-
نفس المثال السابق مع تبديل A2 من الشائب إلى الديناري؟
الحل:
P(A1) = P(A2) =
P(A1UA2) = P(A1) + P(A2) – P(A1∩A2)
= + - * =

الدرس الثاني:
قوانين أساسية:
الاعتماد: P(A1UA2) = P(A1) * P(A2/A1)
أي أن P(A2/A1) تعني احتمال حدوث الحدث A2 مع العلم أن الحدث A1 قد حدث.
الاستقلال: P(A1∩A2) = P(A1) * P(A2).
مثال:-
اذا كان احتمال أن يعيش علي خلال العشرة أعوام القادمة هو 0.8 واحتمال أن يعيش حامد خلال العشرة أعوام القادمة هو 0.5 فما هو احتمال أن يعيشا معاً خلال العشرة أعوام؟
الحل:-
A1 هو الحدث أن يعيش خلال عشرة أعوام.
A2 هو الحدث أن يعيش خلال عشرة أعوام.
P(A1) = 0.8 , P(A2) = 0.5
P(A1∩A2) = P(A1) * P(A2) = 0.8 * 0.5 = 0.4
مثال:-
صندوق به ثلاث كرات بيضاء وكرتين من اللون الأسود.
A1 أن تكون الكرة سوداء في السحبة الأولى.
A2 أن تكون الكرة سوداء في السحبة الثانية.
ما هو احتمال أن تكون الكرة في السحبة الأولى والثانية سوداء. (ا) مع إرجاع الكرة الى الصندوق. (اا) مع عدم إرجاع الكرة الى الصندوق.
الحل:
(i) P(A1∩A2) = P(A1) * P(A2)
= * =
(ii) P(A1∩A2) = P(A1) * P(A2/A1) = * = =


الاحتمال المشروط:
P(A1∩A2) = P(A1) * P(A2/A1)
P(A2/A1) =



مثال:
أوجد احتمال حدوث رقم أقل من 4 عند رمي نرد مرة واحدة. إذا كان:-
(أ‌) ليس هناك معلومات أخرى.
(ب‌) إذا كانت الرمية تعطي أرقام فردية.
الحل:
P(A) = P(1) + P(2) + P(3) = + + =
P(B) = P(1) + P(3) + P(5) = + =
P(A∩B) = =
P(B/A) = = =
قانون:
إذا كان A يمكن أن يقع في واحد من الأحداث المتنافية A1, A2,…An فإن:
P(A) = P(A1) * P(A/A1) + P(A2) * P(A/A2) + P(An) * P(A/An).

مثال: الصندوق I يحتوي 3 كرات حمراء و2 كرة زرقاء . والصندوق II يحتوي 2 كرة حمراء و8 كرات زرقاء . ثم رمي قطعة معدنية فإذا كانت صورة ثم اختيار الكرة من الصندوق I وإذا كانت كتابة ثم اختيار الكرة من الصندوق II.
أوجد احتمال أن تكون الكرة المختارة حمراء .


P(R) =P(I) *P(R/I) +P(II) *P(R/I) + P(II) * P(R/II)
( ) + ( ) =

الدرس الثالث:
نظرية بييز:
أو نظرية الأسباب:
نفرض أن An ,...,A2 ,A1 أحداث متنافية بحيث يكون اتحادهم هو فضاء العينة S فإذا كان A هو أي حدث فان :

P(A) = P(A1) P(A/A1) + P(A2) P(A/A2) + P(An) P(A/An) =
P(A / Ak) =

مثال:
بالإشارة للمثال السابق. ما هو احتمال أن تكون الكرة الحمراء المختارة من الصندوق I ؟
الحل:
P(R) = P(I) P(R/I) + P(II) P(R/II)

=
مثال:
تنتج ثلاث ماكينات A, B, C بالتوالي 20% و 30% و 50% من الإنتاج الكلي لمصنع، ونسبة الإنتاج المعيب لهذه الماكينات هي 5% و 4% و 3%، إذا اختيرت وحدة بطريقة عشوائية ما هو احتمال:
(ا) ان تكون معيبة؟ (اا) أن تكون هذه الوحدة من انتاج الماكينة (A) ؟
الحل:
D هو الإنتاج التالف.
(i) P(D) = P(A) P(D/A) + P(B) P(D/B) + P(C) P(D/C)
= (0.5)(0.03) + (0.3)(0.04) + (0.2)(0.05) = 0.037
(ii)
=
مثال:
ما هو احتمال الحصول على المجموع 11, 8, 7 عند رمي نردين غير متحيزين مع بعض؟
الحل:
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 X
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Fx
P(7)=6/36 P(8) = 5/36 P(11) = 2/36

مثال:
عند سحب ثلاثة آسات من صندوق الكوتشينة:
A1 سحب الآس في المرة الأولى.
A2 سحب الآس في المرة الثانية.
A3 سحب الآس في المرة الثالثة.
ما هو احتمال سحب الآسات مع عدم ارجاع الآس المسحوب؟
الحل:
4/52 = P(A1)
3/51 = P(A2/A1)
2/50 = P(A3/A2/A1)
P(A1∩A2∩A3) = P(A1) P(A2/A1) P(A3/A1/A2) = =
مثال:
ثلاثة أفراد يصوبون مسدساتهم في هدف واحد. احتمال أن يصوبوا على التوالي: 1/6 ، 1/4 ، 1/3 فما هو احتمال اصابة الهدف؟
الحل:
q احتمال الفشل.
III II I
1/6 1/4 1/3 p
5/6 3/4 2/3 q
P(A) = P(I)q(II)q(III) + P(II)q(I)q(III) + P(III)q(I)q(II) = (1/3)( 3/4)( 5/6) + (1/4)( 2/3)( 5/6) + (1/6)( 2/3)( 5/6) = 0.68505549
ما هو احتمال أن يصيب الأول الهدف؟
P(I) =
=
=

الدرس الرابع:
المتغيرات العشوائية
المتغير العشوائي:
المتغير العشوائي X على فضاء العينة S هو دالة من S إلى مجموعة الأعداد الحقيقية R بحيث تكون الصورة العاكسة لأي فترة من R حدثاً في S.
S = {HH, HT, TH, TT}
x 0 1 2
f(x) 1/4 1/2 1/4
فالمتغير العشوائي الذي يأخذ نقاط وقيم قابلة للعد يسمى متغير عشوائي متقطع والمتغير العشوائي الذي يأخذ نقاط وقيم غير قابلة للعد يسمى متغير عشوائي متصل.
المتغير العشوائي المتقطع:
F(x) تكون دالة احتمالية إذا:-
1. F(x)
2. F(x) ≥ 0
3.

التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي:









عند رمي حجري نرد:
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 X
1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 Fx
التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي متقطع:








المتغيرات العشوائية المتصلة:
نفرض أن X متغير عشوائي نطاقه المصاحب (s)X هو فترة من الإعداد. نفرض أن لدينا دالة متصلة بحيث يساوي b)≥X ≥P(a المساحة المحصورة تحت المنحنى بين الخطين X = a و X = b أي أن:

وفي هذه الحالة أن X متغير عشوائي متصل و F(x) دالة احتمالية متصلة بحيث:
1. F(x) ≥ 0 .
2.
مثال:
عندما F(x) = 1/2 x أوجد 2)≥X ≥P(0 . وتساوي صفر بخلاف ذلك.
الحل:
= = 1
التوقع الرياضي:
ويرمز له بالرمز E، إذا كان X متغير عشوائي فإن التوقع الرياضي يكون:-
للمتغير العشوائي المتقطع.
للمتغير العشوائي المتصل.
التوقع الرياضي ل X يساوي الوسط الحسابي أي أن E(x) = .
مثال:
أوجد E(x) عند رمي حجري نرد؟
الحل:
E(x) = (2)(1/36) + (3)(2/36) + … + (12)(1/36) = 7

مثال:
إذا كانت F(x) = 1/2 x أوجد 2≥X ≥0 وتساوي صفر بخلاف ذلك؟
الحل:
= = = 8/6
التباين:
ويرمز له (V)،
V(X) = E(X2) – (E(X))2
مثال:
أوجد التباين عند رمي حجري نرد؟
الحل:
التباين للمتغير العشوائي المتقطع:
E(X2) = (2)2(1/36) + (3)2(2/36) + … + (12)2(1/36) = 54.8
E(X)2 = 7
(E(X))2 = 49
V(X) = 54.8 – 49 = 5.8
الانحراف المعياري:
ويرمز له ( ) وهو الجذر التربيعي للتباين:



التباين للمتغير العشوائي المتصل:
E(x2) = = = = 0.5 * 4 = 2
(E(x))2 = (8/6)2 = 64/36
V(x) = E(x2) – (E(x))2 = 2 – 64/36 = 8/36
V(x) = 2/9
= = 0.47
مثال:
متغير عشوائي متصل X له كثافة احتمال كالأتي:-
F(x) =
أوجد تباين X ثم الانحراف المعياري ل X.
الحل:
V(x) = E(x2) – (E(x))2

= = 3 (1/4) = 3/4
=
= = 3(1/5) = (3/5)
V(x) = E(x2) – (E(x))2 = 3/5 - 9/16 = 3/80
= =